Question

如果a，b，c是不全相等的實數，若a，b，c成等差數列，求證：

1

a

，

1

b

，

1

c

不成等差數列．

Answer 1

分析：假設

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數列，則

2

b

=

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

，結合題意可得2b=a+c，代入上式可得b²=ac進而得到a=b=c，與已知矛盾．

解答：證明：假設

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數列，則

2

b

=

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

，
因為a，b，c成等差數列，故2b=a+c      ①
那么

2

b

=

1

a

+

1

c

=

a+c

ac

=

2b

ac

 即    b²=ac    ②
由（1）（2）得a=b=c
與a，b，c，是不全相等的實數矛盾
故

1

a

，

1

b

，

1

c

不成等差數列．

點評：通過用利用反證法證明不等式，體會等差數列與等比數列的性質．