Question

【題目】已知f（x）=（x2﹣2ax）ebx ， x為自變量．
（1）函數f（x）分別在x=﹣1和x=1處取得極小值和極大值，求a，b．
（2）若a≥0且b=1，f（x）在[﹣1，1]上是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=（x2﹣2ax）ebx，

∴f'（x）=ebx[bx2+2（1﹣ab）x﹣2a]，

∵函數f（x）分別在x=﹣1和x=1處取得極小值和極大值，

∴﹣1，1是bx2+2（1﹣ab）x﹣2a=0的兩個根，

∴ ，∴ 或 ，

經檢驗，

（2）解：f'（x）=ex[x2+2（1﹣a）x﹣2a]

①若f（x）在[﹣1，1]遞減，則f'（x）≤0在[﹣1，1]恒成立，

∴只需x2+2（1﹣a）x﹣2a≤0在[﹣1，1]恒成立，

即2a（x+1）≥x2+2x在[﹣1，1]恒成立，

x=﹣1時2a（x+1）≥x2+2x在[﹣1，1]恒成立；

x∈（﹣1，1]時，需滿足a≥ ，令g（x）= ，

則g′（x）= ＞0在x∈（﹣1，1]恒成立，

∴g（x）在（﹣1，1]遞增，∴g（x）max=g（1）= ，∴a≥ ；

②若f（x）在[﹣1，1]遞增，則f'（x）≥0在[﹣1，1]恒成立，

但f'（﹣1）=﹣1，∴f（x）在[﹣1，1]不遞增；

綜上a≥

【解析】（1）求導數，利用函數f（x）分別在x=﹣1和x=1處取得極小值和極大值，﹣1，1是bx2+2（1﹣ab）x﹣2a=0的兩個根，即可得出結論；（2）先由f′（x）＞0，再根據函數f（x）在[﹣1，1]上為單調函數，將原問題轉化為x2+2（1﹣a）x﹣2a≤0在[﹣1，1]恒成立問題，列出關于a的不等關系解之即得．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．