Question

若函數f（x）=在[1，+∞）上為增函數．
（Ⅰ）求正實數a的取值范圍．
（Ⅱ）若a=1，求征：＜（ n∈N*且n≥2 ）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求函數f（x）的導數，因為函數f（x）=在[1，+∞）上為增函數，所以在[1，+∞）上導數大于等于0恒成立，就可根據x的范圍求出a的范圍．
（Ⅱ）因為f（x）=在[1，+∞）上為增函數，所以n≥2時：f（）＞f（1），因為f（1）=0，所以，n≥2時：f（）＞0，就可得到，進而證明成立，再利用導數判斷y=lnx-x在[1，+∞）上為減函數，就可得到n≥2時，ln＜=1+（n≥2），
進而證明．
解答：解：（Ⅰ）由已知：f'（x）=
依題意得：≥0對x∈[1，+∞）恒成立
∴ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立
∴a-1≥0即：a≥1
（Ⅱ）∵a=1
∴f（x）=，
∵f（x）在[1，+∞）上為增函數，
∴n≥2時：f（）=
即：
∴
設g（x）=lnx-x  x∈[1，+∞），
則對x∈[1，+∞）恒成立，
∴g（x）在[1+∞）為減函數，∵＞1
∴n≥2時：g（）=ln-＜g（1）=-1＜0
即：ln＜=1+（n≥2）
∴lnn=
綜上所證：（n∈N*且≥2）成立．
點評：本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，以及借助函數的單調性證明不等式成立，屬于導數的應用．