Question

設函數f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）若函數f（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（2）若對于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在x∈[-1，1]恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，為使f（x）僅在x=0處有極值，必須4x²+3ax+4≥0成立，由此可求的取值范圍；
（2）根據題意，可得函數f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）與f（-1）兩者中的較大者，由此可求b的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數可得f'（x）=x（4x²+3ax+4），------（1分）
顯然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
為使f（x）僅在x=0處有極值，必須4x²+3ax+4≥0成立，------（3分）
即有△=9a²-64≤0，解得-

8

3

≤a≤

8

3

．
所以a的取值范圍是[-

8

3

，

8

3

]．------（6分）
（2）由條件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，從而4x²+3ax+4＞0恒成立．------（8分）
當x＜0時，f'（x）＜0；當x＞0時，f'（x）＞0．
因此函數f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）與f（-1）兩者中的較大者．------（11分）
為使對任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
當且僅當

f(1)≤1 f(-1)≤1

，即

b≤-2-a b≤-2+a

在a∈[-2，2]上恒成立．------（13分）
所以b≤-4，因此滿足條件的b的取值范圍是（-∞，-4]．------（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查恒成立問題，確定函數的最值是關鍵．