Question

如圖，A₁，A為橢圓的兩個頂點，F₁、F₂為橢圓的兩個焦點．

(1)寫出橢圓的方程及其準線方程．

(2)過線段OA上異于O、A的任一點K作OA的垂線，交橢圓于P，P₁兩點，直線A₁P與AP₁交于點M．

求證：點M在雙曲線－＝1上．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：由圖可知，a＝5，c＝4，所以b＝＝3．該橢圓的方程為＋＝1，準線方程為x＝±． 　　(Ⅱ)證明：設K點坐標為(x0，0)．點P、P1的坐標分別記為(x0，y0)，(x0，－y0)，其中0＜x0＜5，則＋＝1．　　① 　　直線A1P、P1A的方程分別為；(x0＋5)y＝y0(x＋5)，　　② 　　(5－x0)y＝y0(x－5)．　　③ 　　②式除以③式得＝． 　　化簡上式得x＝，代入②式得y＝． 　　于是，直線A1P與AP1的交點M的坐標為(，)．因為()2－()2＝－(1－)＝1，所以，直線A1P與AP1的交點M在雙曲線－＝1上．