Question

如圖，A₁，A為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。

（1）寫出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）過線段OA上異于O，A的任一點(diǎn)K作OA的垂線，交橢圓于P，P₁兩點(diǎn)，直線A₁P與AP₁交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M在雙曲線上。

Answer 1

解：（1）由圖可知，該橢圓的方程為，所以 該橢圓的方程為 準(zhǔn)線方程為。
（2）設(shè)K點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)P、P1的坐標(biāo)分別記為， 其中，則……① 直線A1P，P1A的方程分別為：……② ……③ ②式除以③式得 化簡上式得，代入②式得 于是，直線A1P與AP1的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111202/201112021136106251528.gif"> 所以，直線A1P與AP1的交點(diǎn)M在雙曲線上。