Question

【題目】已知函數（e為自然對數的底數）．

（1）求函數的值域；

（2）若不等式對任意恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）求出，判斷函數在上單調遞減，即可求出函數的值域。

（2）將代入化簡得，

令，問題等價于對任意，恒成立，

對求導，討論k的取值，判斷，即可得出答案。

（1）因為，

所以，

，，

，所以，

故函數在上單調遞減，函數的最大值為；

的最小值為，

所以函數的值域為.

（2）原不等式可化為，任意恒成立。

因為恒成立，

當時，不等式恒成立，

當時，式可化簡為

令，則，

1）當時，，

所以函數在上單調遞增，故，

所以；

2）當時，令；得，

所以當時，；

當時，．

①當，即時，函數在單調遞減，在單調遞增，所以恒成立；

②當，即時，函數但上單調速減，

，解得.

即

綜上所述：.