Question

【題目】如圖，四棱錐，側面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形， 為棱上的動點，且.

（1）求證： ；

（2）試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）通過證明平面，得出，因為，所以；（2）建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，由 ，用表示出P點坐標，求出平面MAD的法向量，根據二面角的平面角余弦值為，求出的值。

試題解析：(1)取中點，連結，依題意可知均為正三角形，所以， ，又， 平面， 平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以.

(2) 由（1）可知， ，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面.

以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則，

，由，可得點的坐標為，

所以，

設平面的法向量為，則即

解得，令，得，顯然平面的一個法向量為.

依題意，

得或（舍去）

當時，二面角的平面角余弦值為.