Question

【題目】已知橢圓的長軸長為4，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，且點為線段的中點

（1）求橢圓的方程；

（2）設點為坐標原點，過右焦點的直線交橢圓于兩點，（不在軸上），求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由已知條件推導出,設,由此能求出橢圓C的方程.

（2）設,由題意設直線AB的方程為,由,得關于的一元二次方程,由此韋達定理、點到直線距離公式等結合已知條件能求出面積的最大值.

解：由題知,長軸長為4,即①,

過點且斜率為的直線交橢圓于,

設,則,,

②,③.

②③得,

,

,

,

④

由①④解得,,故橢圓C的標準方程為

（2）由（1）知,則,所以右焦點

又因為過右焦點的直線交橢圓于兩點,（不在軸上）,

設,由題意：

①當斜率不存時，設的方程為

則,

②當斜率存時，設的方程為,

由題意：

,消去并整理,得,

由韋達定理，得

點到直線的距離為,

設,

令,得,又因為,

當時，，函數在單調遞減,

當時，，函數在單調遞增,

所以在沒有極值.

所以當斜率不存時有極大值為.

綜上所述,面積的最大值為.