Question

（本小題滿分12分）
已知函數
（I）當時,求函數的圖象在點A（0，)處的切線方程；
（II）討論函數的單調性；
（Ⅲ）是否存在實數，使當時恒成立？若存在，求出實數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解（I）．   
（II）在，為增函數，在為減函數。
（Ⅲ）符合條件的實數不存在.  

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）運用了導數的幾何意義求解曲線的切線方程問題。
（2）利用導數的運算，和導數與不等式的關系，求解得到函數的單調區間。
（3）對于不等式的恒成立問題可以轉化為求解新函數的最值問題，來得到參數的取值范圍的求解的這樣的數學思想的運用。
解（I）時,,

于是,,
所以函數的圖象在點處的切線方程為
即．              ………………………… ……………… 2分
（II）
=，
∵，∴ 只需討論的符號．        ……………… 4分
ⅰ）當＞2時，＞0，這時＞0，所以函數在（－∞，+∞）上為增函數．
ⅱ）當= 2時，≥0，函數在（－∞，+∞）上為增函數．
……………… 6分
ⅲ）當0＜＜2時，令= 0，解得，．
當變化時，和的變化情況如下表：

	+	0	－	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴在，為增函數，在為
減函數……………… 8分
（Ⅲ）當∈（1，2）時，∈（0，1）．由（2）知在上是減函數，在上是增函數，故當∈（0，1）時，，所以當∈（0，1）時恒成立，等價于恒成立．……10分
當∈（1，2）時，，設，則，表明g(t) 在（0，1）上單調遞減，于是可得，即∈（1，2）時恒成立，因此，符合條件的實數不存在.    ……………… 12分