Question

（14分）已知函數，其中a為實數。
（1）求函數的單調區間；
（2）若函數對定義域內的任意x恒成立，求實數a的取值范圍。
（3）證明，對于任意的正整數m，n，不等式恒成立。

Answer 1

（1）當時，在上遞減，在上遞增
當時，在，上遞增，在上遞減
當時，在上遞增
當時，在，上遞增，上遞減；
（2）；
（3）見解析。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）因為函數，故,然手對于參數a進行分類討論得到單調性。
（2）由（1）知當時
當時，不恒成立
（3）由（2）知時，恒成立

當且僅當時以“=”
然后分析得到。
解：（1）
當時，在上遞減，在上遞增
當時，在，上遞增，在上遞減
當時，在上遞增
當時，在，上遞增，上遞減          ……（5分）
（2）由（1）知當時
當時，不恒成立
綜上：                                                   ……（9分）
（3）由（2）知時，恒成立

當且僅當時以“=”
時，


……

……(14分)