Question

7．已知圓C的圓心為原點，且與截直線$x+y+2\sqrt{6}=0$所得弦長等于圓的半徑．
（1）求圓C的半徑；
（2）點P在直線x=8上，過P點引圓C的兩條切線PA，PB，切點為A，B，是否存在定點M使得直線AB恒過定點？若存在，求出定點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意，直線$x+y+2\sqrt{6}=0$被圓截得的弦長等于圓的半徑，利用弦長公式可得答案．
（2）利用切線的性質，OA⊥AP，OB⊥BP，可得A，B在以OP為直徑的圓上．設P的坐標，求出OP為直徑的圓，利用公共弦的性質，可得AB直線方程，可得定點坐標．

解答 解：（1）由題意，直線$x+y+2\sqrt{6}=0$被圓截得的弦長等于圓的半徑，
即圓的半徑r=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}=4$，即r=4．
∴圓的方程為：x²+y²=16
（2）由題意，AP，BP是圓C的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，
可得A，B在以OP為直徑的圓上．
設P的坐標為（8，b），
則線段OP的中點坐標即圓心為（4，$\frac{b}{2}$）．
∴以OP為直徑的圓方程為$（x-4）^{2}+（y-\frac{b}{2}）^{2}={4}^{2}+（\frac{b}{2}）^{2}$．
化解可得：x²+y²-8x-by=0．
直線AB為兩個圓的公共弦，
∴8x+yb=16．
故得直線恒過（2，0）．

點評 此題考查了直線與圓的位置關系切線方程問題，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標準方程，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，兩圓的公共弦方程問題．熟練掌握此性質是解本題的關鍵