Question

解答下列問題：
（I）設f(x)=

x2-9

(x≤-3)，
（1）求f（x）的反函數f^-1（x）；
（2）若u1=1，un=-f-1(un-1)，(n≥2)，求un；
（3）若ak=

1

uk+uk+1

，k=1，2，3，…，求數列{an}的前n項和Sn．

Answer 1

分析：（1）根據反函數求解步驟直接求解．
（2）結合（1）得出un=-f-1(un-1)=

un-12+9

（n≥2），兩邊平方并移向得出un2-un-12=9，數列{u_n}是公差為9的等差數列，且首項u12=1，求出數列{un2}的通項公式后可得u _n
（3）ak=

1

9k-8 + 9k+1

=

1

9

(

9k+1

-

9k-8

)，這樣裂項后求和．

解答：解：（1）由y=f(x)=

x2-9

(x≤-3)，兩邊平方得出y²=x²-9，移向得，x²=y²+9
∵x≤-3，∴兩邊開方得出x=-

y2+9

，（y≥0）
所以反函數為y=f-1(x)=-

x2+9

（x≥0）
（2）由un=-f-1(un-1)得出un=-f-1(un-1)=

un-12+9

（n≥2），兩邊平方并移向得出un2-un-12=9
所以數列{un2}是公差為9的等差數列，且首項u12=1，
un2=1+（n-1）×9=9n-8，
∵u_n＞0，∴un=

9n-8

（3）ak=

1

9k-8 + 9k+1

=

1

9

(

9k+1

-

9k-8

)，

∴Sn= 1 9 [( 10 -1)+( 19 - 10 )+…+( 9n+1 - 9n-8 )] = 1 9 ( 9n+1 -1)；

點評：本題考查數列、函數知識：函數與反函數，等差數列的判定，通項公式求解，數列求和．考查轉化、變形構造、計算能力．