Question

平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足=α+β,其中α,β∈R且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為(　　)

(A)(x-1)2+(y-2)2=5(B)3x+2y-11=0

(C)2x-y=0(D)x+2y-5=0

 

Answer 1

D

【解析】【思路點(diǎn)撥】求軌跡方程的問題時可求哪個點(diǎn)的軌跡設(shè)哪個點(diǎn)的坐標(biāo),故設(shè)C(x,y),根據(jù)向量的運(yùn)算法則及向量相等的關(guān)系,列出關(guān)于α,β,x,y的關(guān)系式,消去α,β即可得解.

解:設(shè)C(x,y),則=(x,y),=(3,1),=(-1,3).由=α+β,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).

于是

由③得β=1-α代入①②,消去β得

再消去α得x+2y=5,即x+2y-5=0.

【一題多解】由平面向量共線定理,得當(dāng)=α+β,α+β=1時,A,B,C三點(diǎn)共線.

因此,點(diǎn)C的軌跡為直線AB,

由兩點(diǎn)式求直線方程得=,

即x+2y-5=0.