Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒過定點（2，2）．
（1）求實數a；
（2）在（1）的條件下，將函數f（x）的圖象向下平移1個單位，再向左平移a個單位后得到函數g（x），設函數g（x）的反函數為h（x），求h（x）的解析式；
（3）對于定義在（1，4]上的函數y=h（x），若在其定義域內，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知a2﹣a+1=2，∴a=2
（2）解：∵f（x）=2x﹣2+1，

∴g（x）=2x，

∴h（x）=log2x（x＞0）

（3）解：要使不等式有意義：則有1＜x≤4且1＜x2≤4，

∴1＜x≤2，

據題有 在（1，2]恒成立，

∴設t=log2x（1＜x≤2），

∴0＜t≤1，

∴（t+2）2≤2t+tm+6在（0，1]時恒成立．

即： 在[0，1]時恒成立，

設 ，t∈（0，1]單調遞增，

∴t=1時，有ymax=1，

∴m≥1

【解析】（1）令x=a，則f（a）=2，從而可知f（x）過定點（a，2），再由題設即可求得a值；（2）根據圖象平移規則：左加右減，上加下減即可求得g（x）表達式，從而可得h（x）的解析式；（3）令t=log3x，則t∈[0，2]，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+m+6 恒成立，可轉化為關于t的二次不等式恒成立，進而轉化為求函數的最值解決，利用二次函數的性質易求其最值；