Question

(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，直線與線段、分別交于點、.
(Ⅰ)當時，求以為焦點，且過中點的橢圓的標準方程；
(Ⅱ)過點作直線∥交于點，記的外接圓為圓.
①          求證:圓心在定直線上；
②          圓是否恒過異于點的一個定點?若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為,當時,PQ的中點為(0,3),所以b=3……………3分
而,所以，故橢圓的標準方程為…………………5分
(Ⅱ)①解法一:易得直線,
所以可得,再由∥,得……………8分
則線段的中垂線方程為, 線段的中垂線方程為,
由,解得的外接圓的圓心坐標為………10分
經(jīng)驗證,該圓心在定直線上…………………………… 11分
解法二: 易得直線,所以可得,再由∥,得………………………8分
設(shè)的外接圓的方程為,
則,解得…10分
所以圓心坐標為,經(jīng)驗證,該圓心在定直線上  …11分
②由①可得圓C的方程為………13分
該方程可整理為,
則由,解得或,
所以圓恒過異于點的一個定點,該點坐標為………………16分

略