Question

已知定義域為D的函數(shù)y=f（x），若對于任意x∈D，存在正數(shù)K，都有|f（x）|≤K|x|成立，那么稱函數(shù)y=f（x）是D上的“倍約束函數(shù)”，已知下列函數(shù)：
①f（x）=2x；
②f（x）=2sin（x+

π

4

）；     
③f（x）=x³-2x²+x；    
④f（x）=

x2

x2+x+1

，
其中是“倍約束函數(shù)”的是

①④

．（將你認為正確的函數(shù)序號都填上）

Answer 1

分析：對于任意x∈D，存在正數(shù)K，都有|f（x）|≤K|x|成立?|

f(x)

x

|≤k，對①②③④逐個分析判斷即可．

解答：解：①∵f（x）=2x，
∴存在正數(shù)2，都有|

f(x)

x

|=|

2x

x

|=2≤2，
∴①是“倍約束函數(shù)”；
②f（x）=2sin（x+

π

4

），
∵x→0⁺時|

f(x)

x

|=|

2sin(x+ π 4 )

x

|→+∞，故不存在正數(shù)k使得對于任意x∈D，都有|f（x）|≤K|x|成立，
∴②不是“倍約束函數(shù)”；
f（x）=x³-2x²+x，當x→+∞|

f(x)

x

|=|x²-2x+1|→+∞，故不存在正數(shù)k使得對于任意x∈D，都有|f（x）|≤K|x|成立，
∴③不是“倍約束函數(shù)”；
④（x）=

x2

x2+x+1

，|

f(x)

x

|=|

x

x2+ x+1

|=

0(x=0) | 1 x+ 1 x +1 |(x≠0)

，而|

1

x+ 1 x +1

|≤

1

3

，f故存在正數(shù)

1

3

使得對于任意x∈D，都有|f（x）|≤

1

3

|x|成立，
∴④是“倍約束函數(shù)”；
綜上所述，是“倍約束函數(shù)”的是①④．
故答案為：①④

點評：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，將|f（x）|≤K|x|成立轉(zhuǎn)化為|

f(x)

x

|≤k，是關(guān)鍵，考查學生分析問題與綜合應(yīng)用的能力，屬于難題．