Question

已知函數f（x）=elnx+

k

x

（e為自然對數的底，k為正數），
（Ⅰ）若f（x）在x=x₀處取得極值，且x₀是f（x）的一個零點，求k及x_o的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，求f（x）在[

1

e2

，e]上的最大值；
（Ⅲ）設g（x）=f（x）-kx在區間（0，+∞）上不是單調函數，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導函數，由f'（x₀）=0求出x₀，代入f（x₀）=0求得k的值；
（Ⅱ）求出f（x）的導函數，根據k的范圍得到導函數零點的范圍，由導函數的零點對給出的區間分段，判出導函數在兩區間段內的符號，得到原函數在區間[

1

e2

，1]上端點處取得最大值，通過比較兩個端點值的大小得到答案．
（Ⅲ）欲使函數g（x）在區間（0，+∞）內不是單調函數，即使g′（x）在（0，+∞）上有解，然后轉化成y=kx與f（x）=elnx+

k

x

在區間（0，+∞）有交點，可考慮臨界位置，從而求出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=elnx+

k

x

，所以f′（x）=

e

x

-

k

x2

=

ex-k

x2

，
由已知得f'（x₀）=0，即

ex0-k

x 2 0

=0，∴x0=

k

e

，
又f（x₀）=0，即elnx₀+

k

x0

=0，∴k=1，∴x0=

k

e

=

1

e

，
∴k=1，x0=

1

e

（Ⅱ）f′（x）=

e

x

-

k

x2

=

ex-k

x2

=

e(x- k e )

x2

，
∵1＜k≤e，∴

1

e

≤

k

e

≤1，
由此得x∈(

1

e

，

k

e

)時，f（x）單調遞減，x∈(

k

e

，1)時，f（x）單調遞增，
故f（x）_max={f(

1

e

)，f(1)}，
又f(

1

e

)=ek-e，f（1）=k，
當ek-e＞k，即

e

e-1

＜k≤e，f（x）_max=f(

1

e

)=ek-e，
當ek-e≤k，即1≤k≤

e

e-1

時，f（x）_max=f（1）=k，
綜上所述，f（x）在[

1

e2

，e]上的最大值為f（x）_max=

ek-e，   e e-1 ＜k≤e k，   1≤k≤ e e-1

，
（Ⅲ）g（x）=f（x）-kx=elnx+

k

x

-kx在區間（0，+∞）上不是單調函數，
即g（x）=elnx+

k

x

-kx在區間（0，+∞）有解，即elnx+

k

x

=kx在區間（0，+∞）有解，
即y=kx與f（x）=elnx+

k

x

在區間（0，+∞）有交點
考慮臨界情形即直線與曲線相切時，設切點為（m，elnm+

k

m

）則

f′(m)= e m - k m2 =k km=elnm+ k m

解得m=1，k=

e

2

∴y=kx與f（x）=elnx+

k

x

在區間（0，+∞）有交點時0＜k＜

e

2

即k的取值范圍0＜k＜

e

2

．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和最值，以及導數的幾何意義，同時考查了運算求解的能力，屬于難題．