Question

【題目】設，函數.

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）若無零點，求實數的取值范圍；

（3）若有兩個相異零點， ，求證：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得切線斜率為，再根據點斜式求切線方程（2）由于無零點，且函數恒有負值，所以函數最大值必小于零，根據導數可得函數最值，即得實數的取值范圍；也可先變量分離，根據兩函數交點情況求實數的取值范圍（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據零點條件可得，令，構造函數， ，利用導數可得單調性，即得，逆推可得結論

試題解析：（1）函數的定義域為， ，

當時， ，則切線方程為，

即.

（2）①若時，則， 是區間上的增函數，

∵， ，

∴，函數在區間有唯一零點；

②若， 有唯一零點；

③若，令，得，

在區間上， ，函數是增函數；

在區間上， ，函數是減函數；

故在區間上， 的極大值為，

由于無零點，須使，解得，

故所求實數的取值范圍是.

（3）要證，兩邊同時取自然對數得.

由得，得.

所以原命題等價于證明.

因為，故只需證，即.

令，則，設（），只需證.

而，故在單調遞增，所以.

綜上得.