Question

如圖，過點（0，a³）的兩直線與拋物線y=-ax²相切于A、B兩點，AD、BC垂直于直線y=-8，垂足分別為D、C．
（1）若a=1，求矩形ABCD面積；
（2）若a∈（0，2），求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設出直線與曲線的切點，求出導數后寫出切線方程的點斜式，把已知點（0，a³）代入切線方程，求出兩個切點的橫坐標，從而得到矩形ABCD的長和寬，則面積即可用含a的代數式表示，把a=1代入后可求矩形面積；
（2）對（1）中求出的面積表達式求導，利用導數判出函數在（0，2）上的單調性，求出函數在（0，2）上的極值，則最值可求．

解答：解：（1）設切點為（x₀，y₀），則y0=-ax02，
因為y'=-2ax，所以切線方程為y-y₀=-2ax₀（x-x₀），即y+ax02=-2ax0(x-x0)，
因為切線過點（0，a³），所以a3+ax02=-2ax0(0-x0)，即a3=ax02，于是x₀=±a．
將x₀=±a代入y0=-ax02得y0=-a3．
所以AB=2a，BC=8-a³，所以矩形ABCD面積為S=16a-2a⁴，
當a=1時，矩形ABCD的面積S=16×1-2×1⁴=14；
（2）由（1）得：矩形ABCD面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2），
則S'=16-8a³=8（2-a³）．
所以當0＜a＜

3	2

時，S'＞0；當

3	2

＜a＜2時，S'＜0；
故當a=

3	2

時，S有最大值為S=16×

3	2

-2×(

3	2

)4=12

3	2

．

點評：本題考查利用導數求曲線上過某點的切線方程，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的極值，是中檔題．