Question

【題目】如圖①，已知直角梯形ABCD中，，，過A作，垂足為E.現將沿AE折疊，使得，如圖②.

（1）求證：；

（2）若FG分別為AE，DB的中點.

（i）求證：平面DCE；

（ii）求證：平面平面DBC.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【解析】

（1）證明平面得出，再根據得出；

（2）（i）取的中點，連接、，證明四邊形是平行四邊形，得出，故而平面；

（ii）由可得四邊形為矩形，可得 ，證明可得，從而平面，故平面平面.

證明：（1）在圖①中，，

∴在圖②中，，，

又平面CDE，平面CDE，，

平面CDE，，

由圖①可知四邊形ABCD是矩形，，

∴在圖②中，，

故；

（2）（i）取CD的中點H，連接EH，HG，

H，G分別是CD，BD的中點，

，，

四邊形ABCE是矩形，F是AE的中點，

，，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

，又平面CDE，平面CDE，

平面CDE.

（ii）由（1）可知平面CDE，，

由（i）可知四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是矩形，

，

，，

，又G是BD的中點，

，

又平面BCD，平面BCD， ，

平面BCD，

又平面BDF，

∴平面平面BDF.