Question

已知橢圓C：

x2

m

+

y2

n

=1（0＜m＜n）的長軸長為2

2

，離心率為

2

2

，點M（-2，0），
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M的直線l與橢圓C交于A、B兩點（A在B的左邊）若

MA

=λ

MB

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用2a=2

2

，和離心率計算公式

c

a

=

2

2

，及b²=a²-c²即可得出．
（2）①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：ty=x+2，聯立

ty=x+2 2x2+y2=2

，利用△＞0，根與系數的關系及

MA

=λ

MB

，即可得出；
②y=0時，λ=

1

3

，也適合題意．

解答：解：（1）∵2a=2

2

，

c

a

=

2

2

，聯立解得a=

2

，c=1，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓的方程為x2+

y2

2

=1．
（2）①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：ty=x+2，
聯立

ty=x+2 2x2+y2=2

，化為（1+2t²）y²-8ty+6=0，
∵△＞0，解得t2＞

3

2

．
∴y1+y2=

8t

1+2t2

，y1y2=

6

1+2t2

∵

MA

=λ

MB

，∴y₁=λy₂．
聯立解得，t2=

3(1+λ)2

32λ-6(1+λ)2

＞

3

2

．
化為

(1-λ)2

(3λ-1)(λ-3)

＜0，
解得

1

3

＜λ＜3，又λ＜1，∴

1

3

＜λ＜1．
②y=0時，λ=

1

3

，也適合題意．
綜上可知：λ∈[

1

3

，1)．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為△滿足的條件即根與系數的關系、向量的運算等是解題的關鍵．