Question

已知橢圓C：

x2

m

+y2=1的左、右焦點分別為F₁，F₂，若橢圓上總存在點P，使得點P在以F₁F₂為直徑的圓上；
（1）求橢圓離心率的取值范圍；
（2）若AB是橢圓C的任意一條不垂直x軸的弦，M為弦AB的中點，且滿足K_AB•K_OM=-

1

4

（其中K_AB、K_OM分別表示直線AB、OM的斜率，O為坐標原點），求滿足題意的橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1） 利用點P在以F₁F₂為直徑的圓上，以及∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂，故只需滿足

BF1

•

BF2

≤0，由兩個向量的數量積公式
求出m的范圍，即得橢圓離心率的取值范圍．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂ ），M （x₀，y₀），把A、B的坐標代入橢圓方程并相減得直線AB的斜率，據K_AB•K_OM=-

1

4

，求出 m值，即得橢圓的方程．

解答：解：（1）設點P（x，y），∵F₁ （-

m-1

，0），F₂ （

m-1

，0），
設橢圓的上頂點為B（0，1），
∵點P在以F₁F₂為直徑的圓上，∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂，只需滿足

BF1

•

BF2

≤0，
（-

m-1

，-1）•（

m-1

，-1）=-（m-1）+1=2-m≤0，m≥2，
e=

m-1 m

∈[

2

2

，1）．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂ ），M （x₀，y₀），則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
 把A、B的坐標代入橢圓方程得  

x12

m

+y12=1，

x22

m

+y22=1，
并相減得：

(x1+x2)(x1-x2)

m

=-（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴K_AB =

y1-y2

x1-x2

=

-x0

my0

，又 K_OM=

Y0

X0

，
再由 K_AB•K_OM =-

1

4

，m=4，此時，橢圓的方程為

x2

4

+y²=1．

點評：本題考查橢圓的簡單性質的應用以及用待定系數法求橢圓的標準方程的方法，以及直線的斜率公式、
兩個向量的數量積公式的應用．