Question

（2012•山西模擬）已知函數f（x）=x-1-alnx（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為3x-y=3，求實數a的值；
（2）若f（x）的值域為[0，+∞），求a的值；
（3）若a＜0，對任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，恒有|f(x1)-f(x2)|＜4|

1

x1

-

1

x2

|，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，建立等式關系即可求出a的值；
（2）先若f（x）的值域為[0，+∞），轉化為恒成立問題，再討論a的符號使f（x）≥0恒成立，求出a的值即可；
（3）設h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|等價于函數h（x）在區間（0，1]上是減函數即使x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，然后利用分離法將a分離出來，從而求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=1-

a

x

，∴f'（1）=1-a
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率為1-a
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，
∴1-a=3，解得a=-2．
（2）f'（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，其中x＞0
（i）當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，所以函數f（x）在（0，+∞）上是增函數
而f（1）=0，所以當x∈（0，1）時，f（x）＜0，與f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不滿足題意．
（ii）當a＞0時，∵x＞a時，f'（x）＞0，所以函數f（x）在（a，+∞）上是增函數；
0＜x＜a時，f'（x）＜0，所以函數f（x）在（0，a）上是減函數；
∴f（x）≥f（a）=a-a-alna
∵f（1）=0，所以當a≠1時，f（a）＜f（1）=0，此時與f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1
綜上所述，若f（x）的值域為[0，+∞），則a=1；
（3）由（2）可知，
當a＜0時，函數f（x）在（0，1]上是增函數，又函數y=

1

x

在（0，1]上是減函數
不妨設0＜x₁≤x₂≤1
則|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|即f（x₂）+4×

1

x2

≤f（x₁）+4×

1

x1

設h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|等價于函數h（x）在區間（0，1]上是減函數
因為h'（x）=1-

a

x

-

4

x2

=

x2-ax-4

x2

，所以x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-

4

x

在（0，1]內的最大值．
而函數y=x-

4

x

在（0，1]是增函數，所以y=x-

4

x

的最大值為-3
所以a≥-3，又a＜0，所以a∈[-3，0）．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題的應用，同時考查了計算能力，轉化與化歸的思想，屬于中檔題．