Question

【題目】若函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的定義域，通過①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，分別求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（Ⅱ）通過a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，列出不等式即可求解a的取值范圍．

解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，令，，其中舍去

則

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，不合題意，舍去．

當(dāng)時(shí)，

由于在上有兩個(gè)零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>，所以是的一個(gè)零點(diǎn)．

因此問題等價(jià)于：在存在一個(gè)零點(diǎn)，

又由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)極值點(diǎn)，

故，即．

因此問題等價(jià)于：

．

因?yàn)?/span>

，

令，

在恒成立，所以在單調(diào)遞減，

，

所以成立，

所以存在，．

取，

，

，

所以在存在一個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，．

另解：當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于正無窮大，則．