Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)，讓導(dǎo)函數(shù)為零，解出方程，根據(jù)根之間的大小關(guān)系，進行分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）（）由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，可以判斷有一個零點；

（）當(dāng)或時，,結(jié)合（1）中的結(jié)論，對作如下分類，利用單調(diào)性，判斷零點的個數(shù).

① 當(dāng)時，可以判斷有二個零點；

② 當(dāng)時，可以判斷有一個零點；

③ 當(dāng)時，∴當(dāng)時，可以判斷有1個零點；

當(dāng)時，可以判斷有2個零點；

當(dāng)時，可以判斷有3個零點；

解：（1），

令得，，

①當(dāng)，即時，恒成立，∴在上增；

②當(dāng)，即時，令，得或，

令，得，

∴在上增，在上減，在上增；

③當(dāng)即時，令，得或，

令，得，

∴在上增，在上減，在上增；

綜上，當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）（方法一）（）由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，故1個零點；

（）當(dāng)或時，，

① 當(dāng)時，在上增，在上減，在上增，

∵，，，此時2個零點；

② 當(dāng)時，在上增，在上減，在上增；

，又，此時1個零點；

③ 當(dāng)時，在上增，在上減，在上增；

，，

，

∵，

∴當(dāng)時，，有1個零點；

當(dāng)時，，有2個零點；

當(dāng)時，，有3個零點；

綜上所述：當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)或時，有2個零點；當(dāng)時，有3個零點.