Question

【題目】記無窮數列的前項中最大值為，最小值為，令．

（1）若，寫出，，，的值；

（2）設，若，求的值及時數列的前項和；

（3）求證：“數列是等差數列”的充要條件是“數列是等差數列”．

Answer 1

【答案】（1），（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）分別計算出，，，結合題意即可得b1，b2，b3，b4的值；

（2）由新定義，可得λ＞0，考慮三種情況求得λ，檢驗可得所求λ；進而得到bn，由數列的分組求和，可得所求和；

（3）充分性易證，無論d為何值，始終有bn，即可證得結果，必要性須分類證明．

解：（1） 因為，所以，

所以，

（2），

當時，，無解；

當時，，無解；

當時，,解得；

當時，無解，

此時，

當時，，

所以當時遞增，

，

所以當時，

（3）必要性：數列是等差數列，設其公差為.

當時是遞增數列；當時是常數列；當時，是遞減數列；

都有，

所以數列是等差數列.

充分性：數列是等差數列，設其公差為

則，

由題意知，，

當時，對任意都成立，

即，所以是遞增數列，

，

所以是公差為的等差數列，

當時，，進而

所以是遞減數列，，

，

所以是公差為的等差數列

當時，，

因為與中至少有一個為，所以二者都為，

進而得為常數列，

綜上，充分性成立.