Question

在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若直角三角形中較小的銳角記作θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是，則sin²θ-cos²θ的值等于（ ）
A．1
B．
C．
D．-

Answer 1

【答案】分析：由已知大會(huì)會(huì)標(biāo)由4個(gè)相同的直角三角形與中間的面積是小正方形拼成的一個(gè)面積是1大正方形，我們可以設(shè)角形短直角邊為x，然后根據(jù)余弦定理（在直角三角形中也可稱(chēng)為勾股定理），我們構(gòu)造出關(guān)于x的方程，解方程求出三角形各邊長(zhǎng)，即可得到θ的各三角函數(shù)值，進(jìn)而得到sin²θ-cos²θ的值
解答：解：設(shè)三角形短直角邊為x
∵S小正方形=
∴小正方形邊長(zhǎng)=
∴直角三角形另一條直角邊為x+
∵S大正方形=1
∴大正方形邊長(zhǎng)=1
根據(jù)勾股定理，x²+（x+）²=1²
解得x=
∴sinθ=，cosθ=
∴sin²θ-cos²θ=-
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是余弦定理，方程思想，根據(jù)已知，設(shè)出求知的邊長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理（在直角三角形中也可稱(chēng)為勾股定理），我們構(gòu)造出關(guān)于x的方程，是解答本題的關(guān)鍵．