Question

在北京召開的第24屆國際數學家大會會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若直角三角形中較小的銳角記作θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是

1

25

，則sin²θ-cos²θ的值等于（　　）

• A、1
• B、-

  24

  25

• C、

  7

  25

• D、-

  7

  25

Answer 1

分析：由已知大會會標由4個相同的直角三角形與中間的面積是

1

25

小正方形拼成的一個面積是1大正方形，我們可以設角形短直角邊為x，然后根據余弦定理（在直角三角形中也可稱為勾股定理），我們構造出關于x的方程，解方程求出三角形各邊長，即可得到θ的各三角函數值，進而得到sin²θ-cos²θ的值

解答：解：設三角形短直角邊為x
∵S小正方形=

1

25

∴小正方形邊長=

1

5

∴直角三角形另一條直角邊為x+

1

5

∵S大正方形=1
∴大正方形邊長=1
根據勾股定理，x²+（x+

1

5

）²=1²
解得x=

3

5

∴sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

∴sin²θ-cos²θ=-

7

25

故選D

點評：本題考查的知識點是余弦定理，方程思想，根據已知，設出求知的邊長，根據余弦定理（在直角三角形中也可稱為勾股定理），我們構造出關于x的方程，是解答本題的關鍵．