Question

已知圓C：（x-1）²+y²=r²（r＞1），設A為圓C與x軸負半軸的交點，過點A作圓C的弦AM，并使弦AM的中點恰好落在y軸上．
（1）當r在（1，+∞）內變化時，求點M的軌跡E的方程；
（2）設軌跡E的準線為l，N為l上的一個動點，過點N作軌跡E的兩條切線，切點分別為P，Q．求證：直線PQ必經過x軸上的一個定點B，并寫出點B的坐標．

Answer 1

分析：（1）設M（x，y），則AM的中點D(0，

y

2

)．因為C（1，0），

DC

=(1，-

y

2

)，

DM

=(x，

y

2

)．在⊙C中，因為CD⊥DM，所以，

DC

•

DM

=0，由此能求出點M的軌跡E的方程．
（2）軌跡E的準線l：x=-1，所以，可設N（-1，t），過N的斜率存在的直線方程為：y-t=k（x+1），由

y2=4x y=kx+(k+t)

得

k

4

y2-y+(k+t)=0．由△=1-k（k+t）=0得：k²+kt-1=0．由此入手能夠證明直線PQ必經過x軸上的一個定點B，并能求出B的坐標．

解答：解：（1）設M（x，y），則AM的中點D(0，

y

2

)．
因為C（1，0），

DC

=(1，-

y

2

)，

DM

=(x，

y

2

)．
在⊙C中，因為CD⊥DM，所以，

DC

•

DM

=0，
所以x-

y2

4

=0．
所以，y²=4x（x≠0）
所以，點M的軌跡E的方程為：y²=4x（x≠0）（5分）（說明漏了x≠0不扣分）
（2）軌跡E的準線l：x=-1
所以，可設N（-1，t），過N的斜率存在的直線方程為：y-t=k（x+1）
由

y2=4x y=kx+(k+t)

得

k

4

y2-y+(k+t)=0．
由△=1-k（k+t）=0得：k²+kt-1=0．
設直線NP，NQ斜率分別為k₁，k₂，則k₁k₂=-1①且yp=

2

k1

，yQ=

2

k2

所以P(

2

k12

，

2

k1

)，Q(

2

k22

，

2

k2

)
所以，直線PQ的方程：(y-

2

k1

)(k1+k2)=2k1k2(x-

2

k12

)．
令y=0，則x=

1

k12

-

k1+k2

k12k2

=

-k1

k12k2

=-

-1

k1k2

由①知，x=1即直線PQ過定點B（1，0）．（10分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．