Question

已知圓C：（x-1）²+y²=9內有一點P（2，2），過點P作直線l交圓C于A、B
（1）當弦AB被點P平分時，寫出直線l的方程；
（2）當直線l的傾斜角為45°時，求弦AB的長．
（3）設圓C與x軸交于M、N兩點，有一動點Q使∠MQN=45°．試求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C的標準方程，我們易確定圓心C的坐標，進而得到直線PC的斜率，然后根據弦AB被點P平分，我們易得l與直線PC垂直，利用點斜式易求出滿足條件的直線l的方程；
（2）當直線l的傾斜角為45°時，斜率為1，由此我們可得到直線l的方程，代入點到直線距離公式，求出弦心距，然后根據弦心距，半弦長，半徑構成直角三角形，滿足勾股定理，得到弦AB的長．
（3）由圓C與x軸交于M、N兩點，我們易求出M、N兩點的坐標，然后根據動點Q使∠MQN=45°，構造關于動點（x，y）的方程，整理即可得到動點Q的軌跡方程．

解答：解（1）已知圓C：（x-1）²+y²=9的圓心為C（1，0），因直線過點P與PC垂直，所以直線l的斜率為-

1

2

，
直線l的方程為y-2=-

1

2

（x-2），即  x+2y-6=0．
（2）當直線l的傾斜角為45°時，斜率為1，直線l的方程為y-2=x-2，即 x-y=0
圓心C到直線l的距離為

1

2

，圓的半徑為3，弦AB的長為

34

．
（3）∵圓C與x軸交于M（-2，0），N（4.0）兩點∴tan45°=|

kMQ-kNQ

1+kMQ×．kNQ

|．
1=|

y x+2 _ y x-4

1+ y x+2 × y x-4

|
1=|

-6y

x2-2x-8+y2

|
x²-2x-8+y²=6y或x²-2x-8=-6y∴Q點的軌跡方程是：（x-1）²+（y-3）²=18（y＞0），或（x-1）²+（y+3）²=18（y＜0）

點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，直線的一般式方程，軌跡方程，其中由于直線l過點P（2，2），故使用點斜式方程求解比較簡便．