Question

已知向量，，且．
求及；
若的最小值是，求實數的值；
設，若方程在內有兩個不同的解，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）或．

試題分析：（1）根據已知條件及平面向量的坐標表示與模的坐標表示，
可以得到；
由（1）可得，原問題等價為求使的最小值為的的值，這是一個二次函數與三角函數的復合函數，需分別討論以下三種情況：①，②，③下取得最小值的情況，從而可以得到；（3）當時，，根據正弦函數在及上取值的對稱性，設，要保證題中方程有兩個不同的解，必須保證方程，在僅有一根或有兩個相等根，由一元二次方程根的分布，可得或．
（1）∵，，

∴
∵， ∴ ∴      4分
（2）由（1）得，即
∵， ∴
①當時，當且僅當時，取得最小值，這與已知矛盾．
②當時，當且僅當時，取最小值
由已知得，解得
③當時，當且僅當時，取得最小值．
由已知得，解得，這與相矛盾．
綜上所述，為所求．          9分；
根據正弦函數在及上取值的對稱性，因此設問題等價于方程，在僅有一根或有兩個相等根，∴或∴或
綜上，的取值范圍是：或      14分．