Question

【題目】已知函數f（x）=loga（a＞0且a≠1）是奇函數，

（1）求實數m的值；

（2）若a=，并且對區間[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（）x+t恒成立，求實數t的取值范圍．

（3）當x∈（r，a-2）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），求實數a與r的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由已知可得恒成立，求出后驗證定義域得答案；

（2）時，等價于，令，利用單調性求出在區間，上的最小值可得的范圍；

（3）設，則，然后分和兩類求解得答案．

解：（1）由f（x）=loga（a＞0且a≠1）是奇函數，

得f（-x）+f（x）=loga+loga==0對于定義域內的任意x恒成立，

即，得m2=1，即m=±1．

當m=-1時，原函數化為f（x）=，定義域為{x|x≠1}（舍去），

∴m=1；

（2）a=時，f（x）＞（）x+t等價于f（x）-（）x＞t，

令g（x）=f（x）-（）x，

則g（x）在區間[3，4]上遞增，，

故t＜；

（3）設u=1+，則y=logau，

①當a＞1時，∵函數f（x）的值域是（1，+∞），即y＞1，

∴u=1+（r＜x＜a-2）的值域為（a，+∞），

作出函數u=1+（r＜x＜a-2）的圖象，得r=1，且a=1+，

解得：a=2+；

②當0＜a＜1時，∵函數f（x）的值域是（1，+∞），即y＞1，

∴u=1+（r＜x＜a-2）的值域為（0，a），

作出函數u=1+（r＜x＜a-2）的圖象，得a-2=-1，解得：a=1，矛盾．

綜上，r=1，a=2+．