Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（t為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，圓的極坐標方程為．

（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐標方程；

（Ⅱ）過曲線上任一點作與夾角為45°的直線，交于點，求的最大值與最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標方程為；（Ⅱ）最大值為12，最小值為4.

【解析】

（Ⅰ）根據解方程組的知識，將參數t消去，便可得到的普通方程；對的極坐標方程為利用三角變換展開可得，兩邊同時乘以，進而可得直角坐標方程；

（Ⅱ）因為兩直線的夾角為45°，設到的距離為，故的長度等于，要求的最值，求出的最值即可.

（Ⅰ）由∴的普通方程為，

由，

可得，

∴，

∴，

即，

此即的直角坐標方程．

（Ⅱ）在曲線上任意取一點

則到的距離為 ，

則，

即當時，|PA|取最大值為12；

當時，|PA|取最小值為4.