Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形， ， ， ， ，平面底面，直線與底面所成的角為．

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：(1)先結合勾股定理證明,然后利用面面垂直的性質定理得到再結合條件利用勾股定理證得,利用線面垂直的判定定理得到平面,進而證得平面 平面；

(2), 分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,由坐標,利用向量法進行求解.

試題解析：

（1）證明：因為， ， ，所以，則．

又因為平面底面，平面平面，所以平面．　

而平面，所以.

于是即為與底面所成的角，即．

因為，所以， ，

由， ，得，解得，

從而，于是，

因為，所以平面．　

而平面，所以平面 平面.

（2）由（1）知、、兩兩垂直，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為， ， ， ，

所以， ， ，

設平面的一個法向量為，則解得

取，則．

設平面的一個法向量為，則解得

取，則．

令二面角為，顯然為鈍角，則．

所以二面角的余弦值為．