Question

【題目】已知函數f(x)＝，其中x∈[2，＋∞)．

(1)求f(x)的最小值；

(2)若f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析:(1)先用定義法判斷并證明函數的單調性,根據單調性求出函數的最小值;(2) f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a，由(1)可得f(x)的最小值為,代入即可.

試題解析:

(1)f(x)＝x＋＋2，

任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).

∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4，∴1－＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

故f(x)在[2，＋∞)上是增函數．∴當x＝2時，f(x)取得最小值為.

(2)∵f(x)的最小值為，∴f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a，即a＜.

故a的取值范圍為.

點睛:本題考查定義法判斷函數的單調性,以及恒成立問題轉化的求函數的最值. 若函數在區間上單調遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區間上單調遞減，則當時有.