Question

【題目】已知數列的前項和為，且滿足，求數列的通項公式．勤于思考的小紅設計了下面兩種解題思路，請你選擇其中一種并將其補充完整．

思路1：先設的值為1，根據已知條件，計算出_________， __________， _________．

猜想： _______.

然后用數學歸納法證明．證明過程如下：

①當時，________________，猜想成立

②假設（N*）時，猜想成立，即_______．

那么，當時，由已知，得_________．

又，兩式相減并化簡，得_____________（用含的代數式表示）．

所以，當時，猜想也成立．

根據①和②，可知猜想對任何N*都成立．

思路2：先設的值為1，根據已知條件，計算出_____________．

由已知，寫出與的關系式： _____________________，

兩式相減，得與的遞推關系式： ____________________．

整理： ____________．

發現：數列是首項為________，公比為_______的等比數列．

得出：數列的通項公式____，進而得到____________．

Answer 1

【答案】 2 2

【解析】試題分析：思路1.由于，令，可求出的值，再令 ，可求出的值，再令，可求出的值，利用不完全歸納法，歸納猜想出，再用數學歸納法加以證明, 這是一種“歸納—猜想—證明”思維方式，從特殊到一般的歸納推理方式；思路2.采用構造法直接求出數列得通項公式.

試題解析：思路1.由于，令， ；令 ， ， ，令 ， ，則

，由此猜想 ；下面用數學歸納法證明，證明過程如下：

①當時， ，得 ，符合 ，猜想成立.

②假設（N*）時，猜想成立，即,

那么，當時，由已知，得 ,

又，兩式相減并化簡，得 ， （用含的代數式表示）．所以，當時，猜想也成立．

根據①和②，可知猜想對任何N*都成立．

思路2. 先設的值為1，根據已知條件，計算出，

由已知，寫出與的關系式： ，

兩式相減，得與的遞推關系式： ，

整理： ，

發現：數列是首項為2，公比為2的等比數列．

得出：數列的通項公式 ，進而得到 ．