Question

過拋物線y²=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們到直線x=-2的距離之和等于5，則這樣的直線（　　）

A．有且僅有一條

B．有且僅有兩條

C．有無窮多條

D．不存在

Answer 1

分析：先求出A，B到準線的距離之和的最小值，進而可得A，B到直線x=-2的距離之和的最小值，利用條件可得結論．

解答：解：拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1，
設A，B的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則A，B到直線x=-1的距離之和x₁+x₂+2
設直線方程為x=my+1，代入拋物線y²=4x，則y²=4（my+1），即y²-4my-4=0，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2
∴x₁+x₂+2=4m²+4≥4
∴A，B到直線x=-2的距離之和x₁+x₂+2+2≥6＞5
∴過焦點使得到直線x=-2的距離之和等于5的直線不存在
故選D．

點評：本題考查拋物線的定義，考查過焦點弦長的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．