Question

已知數列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x的方程的兩實根，且a₁=1．
（Ⅰ）求證：數列是等比數列；
（Ⅱ）S_n是數列{a_n}的前n項的和．問是否存在常數λ，使得b_n＞λS_n對?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵a_n，a_n+1是關于x的方程的兩實根，
∴…（2分）
∵．
故數列是首項為，公比為-1的等比數列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，即
∴
=．…（8分）
因此，
要使b_n＞λS_n，對?n∈N^*都成立，
即（*） …（10分）
①當n為正奇數時，由（*）式得：
即，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴對任意正奇數n都成立，
因為為奇數）的最小值為1．所以λ＜1．…（12分）
②當n為正偶數時，由（*）式得：，即
∵2ⁿ-1＞0，∴對任意正偶數n都成立，
∵為偶數）的最小值為，∴．
∴存在常數λ，使得b_n＞λS_n對?n∈N^*都成立時λ的取值范圍為（-∞，1）．…（14分）
分析：（Ⅰ）利用韋達定理，結合等比數列的定義，即可證明數列是等比數列；
（Ⅱ）分別求出b_n、S_n，從而可得不等式，分類討論，即可求出λ的取值范圍．
點評：本題考查等比數列的證明，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．