Question

 圓x²+y²=9的動弦AB垂直于x軸，P 為AB上的點，且︱AP︱·︱BP︱=4，（1）求點P的軌跡；（2）若M（x，y）是（1）中曲線上任一點，求t=的取值范圍。

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                          

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）∵弦AB垂直于x軸，∴x_A=x_B，y_A=-y_B∴設A（x，y₁），B（x，-y₁），P（x，y）

       ∵︱AP︱·︱BP︱=4，∴ ·=4

即︱y-y₁︱·︱y+y₁︱=4 ∴︱y²-y₁²︱=4

∵A（x，y₁）在圓上，∴y₁²=9-x²

∴︱ x²+ y²-9︱=4

∵P（x，y）在圓內，∴x²+ y²＜9

∴9-（x²+ y²）=4

∴所求軌跡方程為x²+ y²=5是以（0，0）為圓心，r=的圓

（2）t=可看作x²+ y²=5上的一點（x，y）與（3，-1）連線的斜率，由圖知t的最值，即為圓x²+ y²=5的切線的斜率。設切線方程為y+1=k（x-3），即kx-y-3k-1=0

∴=，即2k²+3k-2=0，

∴k=-2或 k=

∴t_max=-2，t_min=