Question

已知圓O：x²+y²=9，定點 A（6，0），直線l：3x-4y-25=0
（1）若P為圓O上動點，求線段PA的中點M的軌跡方程
（2）設E、F分別是圓O和直線l上任意一點，求線段EF的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用M是線段PA的中點，尋找動點與定點之間的關系，借助于P在圓O上，從而求出M的軌跡方程
（2）根據圖形易知，當且僅當過圓心垂直于已知直線時取得最大與最小值．

解答：（1）解：設圓O上動點P（x₁，y₁），線段PA的中點M（x，y）
由P在圓O上，得x₁²+y₁²=9，…（I）
又M是線段PA的中點，則

x1+6=2x y1+0=2y

，∴

x1=2x-6 y1=2y

∴P（2x-6，2y）
將P點坐標代入（I）得：（2x-6）²+（2y）²=9，
故；(x-3)2+(y)2=

9

4

是所求的軌跡方程．
（2）解：過點O作直線OK⊥l于K，交圓O于A、B兩點（如圖2）|EF|_min=|AK|=|OK|-|OA|=5-3=2

點評：本題主要考查代入法求軌跡，考查數形結合的數學思想，屬于基礎題．