Question

【題目】如圖，已知拋物線x2=y，點A（﹣ ， ），B（ ， ），拋物線上的點P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．
（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；
（Ⅱ）求|PA||PQ|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題可知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ，
所以kAP= =x﹣ ∈（﹣1，1），
故直線AP斜率的取值范圍是：（﹣1，1）；
（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ，
所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2），
設直線AP的斜率為k，則AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣ x+ + ，
聯立直線AP、BP方程可知Q（ ， ），
故 =（ ， ），
又因為 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），
故﹣|PA||PQ|= = + =（1+k）3（k﹣1），
所以|PA||PQ|=（1+k）3（1﹣k），
令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，
則f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），
由于當﹣1＜x＜﹣ 時f′（x）＞0，當 ＜x＜1時f′（x）＜0，
故f（x）max=f（ ）= ，即|PA||PQ|的最大值為 ．
【解析】（Ⅰ）通過點P在拋物線上可設P（x，x2），利用斜率公式結合﹣ ＜x＜ 可得結論；
（Ⅱ）通過（I）知P（x，x2）、﹣ ＜x＜ ，設直線AP的斜率為k，聯立直線AP、BP方程可知Q點坐標，進而可用k表示出 、 ，計算可知|PA||PQ|=（1+k）3（1﹣k），通過令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求導結合單調性可得結論．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數和斜率的計算公式的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值；給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2-x1才能正確解答此題．