Question

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求以橢圓C長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)，離心率的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

解：（Ⅰ） 設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
∵，c=2，a²=b²+c²
∴a²=9，b²=5…（4分）
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0）．
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），∴c′=3…（7分）
又∵，則得a′=2…（8分）
由c′²=a′²+b′²得 b′²=5…（10分）
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為…（12分）
分析：（Ⅰ） 設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用條件尋找?guī)缀瘟恐�間的關(guān)系，從而可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），進(jìn)而可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用，即可確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，熟練運(yùn)用幾何量之間的關(guān)系是關(guān)鍵．