Question

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為

3

5

，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交y軸于M、N，求

OM

•

ON

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，利用橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為

3

5

，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），確定幾何量之間的關(guān)系，從而可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），可得直線方程，令x=0，從而可求M，N的坐標(biāo)，根據(jù)P點(diǎn)在橢圓上，即可求得

OM

•

ON

的值．

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
∵

a

b

=

3

5

，c=2，a²=b²+c²
∴a²=9，b²=5…（4分）
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

5

=1．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），直線PA：y=

y0

x0+3

(x+3)，PB：y=

y0

x0-3

(x-3)…（7分）
令x=0，得：M(0，

3y0

x0+3

)，N(0，

-3y0

x0+3

)…（9分）
∵P點(diǎn)在橢圓上，∴

x02

9

+

y02

5

=1
所以：

OM

•

ON

=

-9y02

x02-9

=

5(x02-9)

x02-9

=5，…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線方程，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法是我們常用的方法．