Question

函數f（x）的定義域為D={x|x≠0}，且滿足對于任意x₁、x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）賦值，令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），由此可解得f（1）的值；
（2）方法同（1）賦值求出f（-1）=0，再令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）構造出f（-x）與f（x）的方程研究其間的關系．得出奇偶性，解答本題時注意做題格式，先判斷后證明；
（3）由題設條件f（4）=1與函數的恒等式，將f（3x+1）+f（2x-6）≤3轉化為f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64），再由f（x）在（0，+∞）上是增函數與f（x）是偶函數的性質將此抽象不等式轉化為一元二次不等式，求解x的范圍．

解答：（1）解：令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）證明：令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解得f（-1）=0．
令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），∴f（-x）=f（x）．∴f（x）為偶函數．
（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）．（*）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴（*）等價于不等式組

(3x+1)(2x-6)＞0 (3x+1)(2x-6)≤64

或

(3x+1)(2x-6)＜0 -(3x+1)(2x-6)≤64

或

x＞3或x＜- 1 3 - 7 3 ≤x≤5

或

- 1 3 ＜x＜3 x∈R.

∴3＜x≤5或-

7

3

≤x＜-

1

3

或-

1

3

＜x＜3．
∴x的取值范圍為{x|-

7

3

≤x＜-

1

3

或-

1

3

＜x＜3或3＜x≤5}．

點評：本題考點是奇偶性與單調性的綜合，解答本題易出現如下思維障礙：
（1）無從下手，不知如何脫掉“f”．解決辦法：利用函數的單調性．
（2）無法得到另一個不等式．解決辦法：關于原點對稱的兩個區間上，奇函數的單調性相同，偶函數的單調性相反．