Question

已知函數f(x)=alog2x，且關于x的方程

a

f(x)

+2=

f(x)

a2

有兩個相同的實數解，數列{a_n}的前n項和s_n=1+f（n+1），n∈N*
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）試確定數列{a_n}中n的最小值m，使數列{a_n}從第m項起為遞增數列；
（3）設數列b_n=1-a_n，一位同學利用數列{b_n}設計了一個程序，其框圖如圖所示，但小明同學認為
這個程序如果執行將會是一個“死循環”（即一般情況下，程序將會永遠循環下去而無法結束）．
你是否贊同小明同學的觀點？請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）原方程化為：

1

a

lo

g

2 2

x-2log2x-1=0(a≠0)根據有兩個相同的實數解其根的判別式等于0求出a 值，從而求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由于

n

n+1

=1-

1

n+1

⇒{

n

n+1

}↑是單調增數列，又a1=0，a2=log2

2

3

，是a1＞a2從而得出{a_n}為遞增數列（n≥2）即得；
（3）贊同小明同學的觀點．利用方程b_n=n（n≥2，n∈N*）無解，從而得出結論：這個程序如果執行將會是一個“死循環”．

解答：解：（1）原方程化為：

1

a

lo

g

2 2

x-2log2x-1=0(a≠0)
由△=0⇒4+

4

a

=0⇒a=-1…（2分）
f（x）=-log₂x⇒S_n=1-log₂（n+1）
由此求得：

a

n

=

0  & & &(n=1) log2 n n+1 (n≥2)

…（4分）
（2）∵

n

n+1

=1-

1

n+1

⇒{

n

n+1

}↑是單調增數列…（3分）
又a1=0，a2=log2

2

3

，是a1＞a2
∴{a_n}為遞增數列（n≥2）…（1分）
∴m=2…（1分）
（3）贊同小明同學的觀點…（1分）
∵n≥2∴bn=1-an=1-log2

n

n+1

=log2

2(n+1)

n

…（1分）
bn=n⇒log2

2(n+1)

n

=n⇒2n=

2(n+1)

n

≤

2(2+1)

2

=3…（2分）
又2ⁿ≥4（n≥2）…（2分）
∴方程b_n=n（n≥2，n∈N*）無解…（1分）

點評：本小題主要考查數列的函數特性、函數單調性的應用、循環結構等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．