Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn ， 且an= （n∈N*）． （Ⅰ）若數列{an+t}是等比數列，求t的值；
（Ⅱ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）記bn= + ，求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當n=1時，由a1= （n∈N*），得a1=1．

當n≥2時，an=sn﹣sn﹣1=2an﹣n﹣2an﹣1+（n﹣1），

即an=2an﹣1+1，∴a2=3，a3=7，．

依題意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1，

當t=1時，an+1=2（an﹣1+1），n≥2，

即數列{an+1}是等比數列，故實數t的值為1．

（Ⅱ）由（Ⅰ），知當n≥2時，an+1=2（an﹣1+1），

又因為a1+1=2，

所以數列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數列．

所以 ，

∴a （n∈N+）．

（Ⅲ）由（Ⅱ），知bn= + = = ，

則Tn= =1﹣

【解析】（Ⅰ）易得an=2an﹣1+1，∴a2=3，a3=7，依題意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1， （Ⅱ）由（Ⅰ），知當n≥2時，an+1=2（an﹣1+1），即數列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數列，得 ，即可求通項．（Ⅲ）由（Ⅱ），知bn= + = = ，累加即可求和．
【考點精析】通過靈活運用等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和，掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．