Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO=1，M為PD的中點． （Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）設直線AM與平面ABCD所成的角為α，二面角M﹣AC﹣B的大小為β，求sinαcosβ的值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結OM，在△PBD中， ∵O為AC的中點，M為PD的中點．∴OM∥PB，
∵OM平面ACM，PB平面ACM，
∴PB∥平面ACM；
（Ⅱ）取DO的中點N，連結MN，AN，則MN∥PO，
∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN=α為所求的直線AM與平面ABCD所成的角．
∵MN= PO= ，
在Rt△ADO中，∵DO= = ，AN= DO= ，
在Rt△AMN中，AM= = ，
∴sinα= ，（8分）
取AO的中點R，連結NR，MR，
∵NR∥AD，∴NR⊥OA，MN⊥平面ABCD，
由三垂線定理知MR⊥AO，故∠MRN為二面角M﹣AC﹣B的補角，即為π﹣β．
∵NR= ，MN= ，∴cos（π﹣β）=﹣cosβ= ，（11分）
∴sinαcosβ= =﹣ ．

【解析】（Ⅰ）連結OM，推導出OM∥PB，由此能證明PB∥平面ACM．（Ⅱ）取DO的中點N，連結MN，AN，則MN∥PO，推導出∠MAN=α為所求的直線AM與平面ABCD所成的角，從而求出sinα= ，取AO的中點R，連結NR，MR，則∠MRN為二面角M﹣AC﹣B的補角，即為π﹣β．從而得到cos（π﹣β）=﹣cosβ= ，由此能求出sinαcosβ．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．