Question

一批燈泡的使用時間ξ(單位:小時)服從正態分布N(10 000,4002).

(1)求這批燈泡中“使用時間超過10 800小時”的燈泡的概率;

(2)現從這批燈泡中隨機抽取100個,求這100個燈泡中“使用時間超過10 800小時”的燈泡個數的期望.(下列數據供計算時選用:Φ(0.5)=0.691 5,Φ(1)=0.841 3,Φ(2)=0.977 2)

分析：本題考查正態分布與標準正態分布的轉化及二項分布的數學期望.

Answer 1

解：(1)由已知μ=10 000,σ=400,設η&N(0,1),

則P(ξ＞10 800)=P(η＞)=P(η＞2)=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8,

即這批燈泡中“使用時間超過10 800小時”的燈泡的概率為0.022 8.

(2)這100個燈泡中使用時間超過10 800小時的燈泡個數ξ是一個隨機變量,且ξ&B(100,0.022 8),

∴Eξ=100×0.022 8=2.28,

即這100個燈泡中使用時間超過10 800小時的燈泡個數的期望為2.28.

點評：在標準正態總體N(0,1)中,相應于x₀的值Φ(x₀)是指總體小于x₀的概率,即Φ(x₀)=P(x＜x₀).對一般正態總體N(μ,σ²),在某一區間內取值的概率,均可依據公式轉化成標準正態總體N(0,1)來進行研究.