Question

已知a、b、c是互不相等的非零實數.若用反證法證明三個方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.

Answer 1

見解析

本試題主要考查了二次方程根的問題的綜合運用。運用反證法思想進行證明。
先反設，然后推理論證，最后退出矛盾。證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，
則Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0
相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，
（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.顯然不成立。
證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，
則Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0.
相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，
（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.                                     ①
由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.
∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.